Per usare il risolutore di equazioni di secondo grado non basta copiare tre numeri dal problema: occorre prima portare l’equazione nella forma ax² + bx + c = 0. Una volta individuati correttamente i coefficienti, il discriminante permette di capire che tipo di soluzioni aspettarsi.
Preparare l’equazione
Considera 2x² + 7 = 5x + 4. Spostando tutto a sinistra ottieni 2x² − 5x + 3 = 0. I coefficienti sono quindi a = 2, b = −5 e c = 3.
Il segno di b è parte del dato. Inserire 5 al posto di −5 risolverebbe un’equazione diversa. Se manca un termine, usa zero per il suo coefficiente; a deve però restare diverso da zero.
Calcolare il discriminante
La formula è Δ = b² − 4ac. Nell’esempio: (−5)² − 4 × 2 × 3 = 25 − 24 = 1.
| Discriminante | Soluzioni |
|---|---|
| Δ > 0 | Due radici reali distinte |
| Δ = 0 | Una radice reale doppia |
| Δ < 0 | Due radici complesse coniugate, nessuna reale |
Questa distinzione e la formula generale sono sviluppate nel testo di algebra OpenStax. I calcoli che seguono mostrano come applicarle e verificarle su esempi concreti.
Due radici reali: un esempio completo
Per 2x² − 5x + 3 = 0, la formula risolutiva dà x = (5 ± 1)/4. Con il segno meno ottieni 1; con il segno più ottieni 1,5.
Verifica x = 1: 2 − 5 + 3 = 0. Verifica x = 1,5: 2 × 2,25 − 7,5 + 3 = 0. La sostituzione è un controllo indipendente dal procedimento seguito dal calcolatore.
Puoi anche fattorizzare: (2x − 3)(x − 1) = 0. I due fattori restituiscono gli stessi valori, mostrando il legame tra scomposizione e formula generale.
Radice doppia e termine noto nullo
Per x² − 6x + 9 = 0, Δ è zero e l’unica radice distinta è 3. Il polinomio è (x − 3)²: la radice è detta doppia perché lo stesso fattore compare due volte.
Se c = 0, come in x² − 5x = 0, raccogli x: x(x − 5) = 0. Le soluzioni sono zero e cinque. Dividere subito per x farebbe perdere la radice zero, perché quella divisione non è valida proprio per x = 0.
Quando compaiono i numeri complessi
Per x² + 4 = 0, Δ = −16. Non esiste un numero reale il cui quadrato sia −4, ma nei complessi le radici sono 2i e −2i, dove i² = −1. Il tool le mostra nella forma parte reale ± parte immaginaria.
Precisione e controllo finale
Le soluzioni irrazionali vengono approssimate: per x² − 2 = 0 il valore esatto contiene √2. Sostituendo un decimale arrotondato, puoi ottenere un piccolo residuo anziché zero esatto.
Controlla sempre forma normale, segni e ordine di grandezza. Se i risultati non hanno senso, ricostruisci prima l’equazione inserita: spesso l’errore si trova nel trasferimento dei coefficienti, non nella formula.